Il paradosso dei gemelli è uno dei più famosi esperimenti concettuali che dovrebbe mettere in luce errori e contraddizioni propri della teoria della relatività ristretta enunciata nel 1905 dal fisico tedesco Albert Einstein. Un esperimento concettuale è un enunciato che non si intende dimostrare sperimentandolo nella pratica – per mancanza di tecnologie o risorse – ma soltanto attraverso il ragionamento. La teoria della relatività ristretta – o della relatività speciale – si basa sull’idea che il tempo e lo spazio possano essere riuniti in un’unica entità quadridimensionale detta cronotropo o spaziotempo: detto più semplicemente, se due o più osservatori misurano il tempo o lo spazio in condizioni diverse (ad esempio se uno si trova su un razzo che viaggia alla velocità della luce) i risultati delle loro misurazioni saranno nettamente diversi.

Herbert Dingle, filosofo inglese, fu il principale sostenitore del paradosso dei gemelli, ma negli anni le numerose confutazioni ricevute dal fisico e matematico tedesco Max Born e dallo stesso Albert Einstein lo misero alla berlina, permettendogli comunque di aprire la strada alla reale fattibilità del viaggio nel tempo: Einstein, risolto il paradosso, dichiarò che in presenza di particolari condizioni, una fra tutte la possibilità di viaggiare alla velocità della luce, sarebbe almeno in teoria stato possibile spostarsi nel tempo e nello spazio, in particolare nel futuro.

 

Astronauta

 

Enunciato del paradosso

Una donna partorisce due gemelli, che chiameremo Alan e Bob. All’età di 30 anni, Alan viene scelto per raggiungere la stella Wolf 359 della costellazione del Leone, distante dalla Terra circa 8 anni luce. Il suo viaggio inizia nell’anno 3000, mentre il fratello Bob resterà ad aspettarlo a casa. Tralasciando il tempo di accelerazione e decelerazione della navetta, Alan viaggia ad una velocità prossima a quella della luce, ad esempio circa l’80% (0,8 c), cioè 240.000 km/s.

Secondo la teoria della relatività ristretta, sul razzo il tempo scorre a circa il 60% di quello percepito sulla Terra: in pratica Alan ha distorto il tempo facendolo scorrere più lentamente.

 

Questione di punti di vista

Bob, dalla Terra, ha seguito il viaggio del fratello, che è durato circa 10 anni all’andata e 10 al ritorno: quando Alan torna a casa, il calendario in cucina segna l’anno 3020. Sull’astronave, però, il tempo è scorso al 60% rispetto a quello terrestre, così come la distanza si è accorciata da 8 anni luce a 4,8 permettendogli di completare l’andata in 6 anni ed il ritorno in altri 6: giunto sul pianeta natio, l’orologio del razzo segna l’anno 3012. Questo significa che quando i due gemelli si riabbracciano, Alan ha 42 anni (30+6+6) mentre Bob ne ha ben 50 (30+10+10): in pratica sulla Terra sono passati otto anni in più che sulla navetta spaziale.

Se invece si immagina l’esperienza dei gemelli vista da Alan, sarebbe dovuto essere l’orologio della Terra a muoversi al 60% del normale. Se così fosse, però, quando i fratelli si rincontrano a casa dovrebbero essere trascorsi 7,2 anni (ovvero il 60% di 12 anni) ed il calendario terrestre dovrebbe segnare il 3007, mentre Alan, ora 42 anni, a bordo del mezzo spaziale dovrebbe essere di 5 anni più grande di Bob, 37.

Il paradosso sta nel fatto che è impossibile che ogni gemello sia allo stesso tempo più giovane e più anziano dell’altro: ammettere che un sistema di riferimento sia corretto implica che l’altro non lo sia, e ciò è ovviamente impossibile.

 

Soluzione per la relatività speciale

Il paradosso si risolve semplicemente osservando che l’enunciato presenta tre sistemi di riferimento inerziali diversi: il primo sulla Terra, il secondo il viaggio dell’astronave verso Wolf 359 ed il terzo il viaggio di ritorno a casa. Sempre tralasciando accelerazione e decelerazione, ogni evento importante cambia in base al sistema di riferimento.

Nella relatività speciale basta pensare che ogni singolo sistema può considerare sé stesso immobile: in questo modo, sia Bob che Alan vedrebbero l’orologio dell’altro scorrere al 60% del normale; in questo modo Alan calcola che quando raggiunge Wolf 359 siano passati 6 anni a bordo, e circa 4 sulla Terra. Il calcolo che Alan fa però è sbagliato, poiché non tiene conto del tragitto compiuto dalla luce dal pianeta natale alla stella.

Giunto a Wolf 359, la luce che lo colpisce è quella partita dalla Terra 2 anni dopo di lui (o poco più di 1 anno secondo la data di bordo). Pertanto Alan vede l’orologio della Terra andare non al 60% del suo, bensì 3 volte più lento: il 33,3%. Tornando a casa, Alan va incontro alla luce proveniente dalla Terra, anziché allontanarsene come nel viaggio di andata: l’orologio a bordo andrà non più tre volte più lento, ma tre volte più veloce: in pratica il tempo distorto all’andata è stato livellato al ritorno. Ciò è valido sia per Alan che per Bob, ovviamente all’inverso. Il viaggio, in definitiva, dura 20 anni, è l’età dei gemelli è identica: 50 anni.

 

Soluzione per la relatività generale

Se calcoliamo il tempo necessario alle accelerazioni ed alle decelerazioni il tempo guadagnato o perso da Alan o Bob è livellato dalla differenza di velocità in queste due fasi.

Secondo il redshift gravitazionale della relatività generale durante l’accelerazione Alan a bordo vede l’orologio sulla Terra andare molto più veloce del suo, poiché la navetta si avvicina ad una velocità prossima a quella della luce. Ovviamente è vero anche il contrario: il tempo recuperato da un lato viene perso dall’altro, facendo sì, come nella soluzione precedente, che il viaggio di 20 anni sia stato identico per entrambi i gemelli, entrambi cinquantenni al momento in cui si riabbracciano.

 

Esperimenti

Il paradosso è stato scientificamente verificato in almeno due occasioni.

Nella prima sono stati fatti volare due aerei in direzione opposta, uno verso est e l’altro verso ovest. Attraverso orologi atomici a bordo dei velivoli si è verificato che quello ad ovest guadagna sull’altro alcuni decimi di secondo, poiché quello che viaggia verso est somma la sua velocità a quella di rotazione del pianeta.

In un altro esperimento il CERN di Ginevra nel 1966 ha utilizzato un acceleratore di particelle per mettere in moto dei muoni. Arrivati ad una velocità pari al 99,6% quella della luce, si è scoperto che i muoni erano decaduti più lentamente di quelli in quiete nel laboratorio, rendendoli di fatto meno anziani.

Piero Angela illustra invece un curioso aneddoto: supponiamo che un ragazzo di 19 anni sia partito su un razzo che viaggia quasi alla velocità della luce lasciando a casa la moglie ad accudire il figlio appena nato. In viaggio per 30 anni, tornerebbe sulla Terra all’età di 49 anni, mentre il piccolo dovrebbe avere oltre 50 anni, rendendo di fatto, paradossalmente, il padre più giovane del figlio.

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