Tag: Matematica

Il numero primo illegale

Nel sottobosco di internet, quello fatto da hacker e fuorilegge digitali, lo scambio di informazioni illegali è cosa comune. Ma è possibile che anche un semplice insieme di numeri, come la vostra data di nascita, sia fuorilegge?

Il numero primo illegale è un codice numerico la cui diffusione o il solo possesso sono illeciti. Questa enormi cifre sono in pratica la controparte codificata di un crack, o un programma, o una canzone, che sebbene di per sé non rappresentino altro che una lunga lista di numeri, si rivelano in realtà potenzialmente convertibili in materiale protetto da copyright. Qualsiasi informazione elettronica può essere ridotta ad una semplice sequenza di 1 e 0, per permetterne l’interscambio tra diversi dispositivi, ma si può scegliere, ad esempio, di associare un codice colore ad un singolo pixel di un’immagine, o un codice standardizzato per visualizzare un simbolo in una pagina web. Se ad esempio volessimo disegnare il segno del copyright in HTML, ci basterebbe scrivere © nel codice di una pagina web ed il browser ci mostrerà ©.

La storia dei numeri illegali primi nasce a seguito delle vicende giudiziarie di DVD Jon, ovvero Jon Lech Johansen, un programmatore norvegese che nel 2002 sviluppa DeCSS, software che permette di aggirare le protezioni DRM di un DVD rendendone possibile la visione su qualsiasi tipo di lettore compatibile.

Già l’anno prima, nel 2001, il matematico e programmatore Phil Carmody cerca di trovare una scappatoia, almeno teorica, che possa permettere di distribuire un software illecito senza infrangere nessuna legge. Sembra paradossale, ma la soluzione sta proprio nel ridurre un programma al minimo essenziale: diverso tempo dopo Carmody sviluppa un codice numerico di 1.905 cifre che rappresenta il codice eseguibile di DeCSS.

4 93108 35970 28501 90027 57776 72390 76495 72849 07772 15020 86320 80750 18409 79262 78850 97658 86455 78020 13660 07328 67954 47341 12831 73536 78312 01557 53598 19785 45054 81157 19393 45877 33003 80099 32619 50587 64525 02382 04081 10189 88504 26151 76579 94170 42508 89037 02911 90158 70030 47943 28260 73821 46954 15703 30227 98755 76818 95601 62403 00641 11516 90087 28798 38194 25827 16745 64774 81668 43479 28464 58092 91315 31860 07001 00433 53189 36319 34391 29486 04450 37099 19800 47709 46292 15581 80711 16915 30318 76288 47787 83541 57593 28910 93295 44735 08818 82465 49506 00050 19006 27470 53053 81164 27829 42674 74853 49652 57453 68151 17065 50281 90555 26562 21353 14631 04210 08662 86797 11444 67063 66921 98258 61581 11251 55565 04813 42076 86732 34076 55054 85910 82695 62666 93066 23679 97021 04812 39656 25180 06818 32365 39593 48395 67535 75575 32461 90234 81064 70098 77530 27956 18689 29253 80693 30520 42381 49969 94545 69457 74138 33568 99060 05870 83218 12704 86113 36820 26515 90516 63518 74029 01819 76939 37677 85292 87221 09550 41292 57925 73818 66058 45015 05525 02749 94771 88312 93104 57698 09091 53046 13359 41903 02588 13205 93227 74443 85255 04667 79024 51869 70626 27788 89197 95804 23065 75061 56698 34695 61779 78796 59201 64405 19399 60716 98111 26151 95610 27628 32339 82579 14233 21726 96144 37443 81056 48552 93488 76349 21030 98870 28787 45323 31325 32122 67863 32837 02792 50997 49969 48877 59369 15917 64458 80327 18384 74023 59330 20374 88850 67557 06587 91946 11341 93230 78148 54436 45437 51132 07098 60639 07464 17564 12163 50423 88002 96780 85586 70370 38750 94107 69821 18376 54992 05204 36825 58546 42288 50242 99633 22685 36912 46485 50007 55916 64024 72924 07164 50725 31967 44999 52944 84347 41902 10772 96068 20558 13092 36268 37987 95196 61997 98285 52588 71610 96136 56178 07456 61592 48866 08898 16456 85417 21362 92084 66562 79131 47846 67915 50965 15431 01135 38586 20819 68758 36883 59557 78939 14545 39356 81996 09880 85404 76590 73589 72898 98342 50471 28918 41626 58789 68218 53808 79562 79039 97862 94493 97605 46753 48212 56750 12151 70827 37107 64627 07124 67532 10248 36781 59400 08750 54525 43537. – Numero primo illegale eseguibile di DeCSS in ELF Linux i386

Il lavoro di Carmody è stato pubblicato diverse volte, divenendo il simbolo dell’assurdità giuridica del DMCA (Digital Millennium Copyright Act) statunitense che vorrebbe la piattaforma di internet sotto controllo delle autorità per evitare la diffusione di materiale pirata.

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Il paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è uno dei più famosi esperimenti concettuali che dovrebbe mettere in luce errori e contraddizioni propri della teoria della relatività ristretta enunciata nel 1905 dal fisico tedesco Albert Einstein. Un esperimento concettuale è un enunciato che non si intende dimostrare sperimentandolo nella pratica – per mancanza di tecnologie o risorse – ma soltanto attraverso il ragionamento. La teoria della relatività ristretta – o della relatività speciale – si basa sull’idea che il tempo e lo spazio possano essere riuniti in un’unica entità quadridimensionale detta cronotropo o spaziotempo: detto più semplicemente, se due o più osservatori misurano il tempo o lo spazio in condizioni diverse (ad esempio se uno si trova su un razzo che viaggia alla velocità della luce) i risultati delle loro misurazioni saranno nettamente diversi.

Herbert Dingle, filosofo inglese, fu il principale sostenitore del paradosso dei gemelli, ma negli anni le numerose confutazioni ricevute dal fisico e matematico tedesco Max Born e dallo stesso Albert Einstein lo misero alla berlina, permettendogli comunque di aprire la strada alla reale fattibilità del viaggio nel tempo: Einstein, risolto il paradosso, dichiarò che in presenza di particolari condizioni, una fra tutte la possibilità di viaggiare alla velocità della luce, sarebbe almeno in teoria stato possibile spostarsi nel tempo e nello spazio, in particolare nel futuro.

 

 

Enunciato del paradosso

Una donna partorisce due gemelli, che chiameremo Alan e Bob. All’età di 30 anni, Alan viene scelto per raggiungere la stella Wolf 359 della costellazione del Leone, distante dalla Terra circa 8 anni luce. Il suo viaggio inizia nell’anno 3000, mentre il fratello Bob resterà ad aspettarlo a casa. Tralasciando il tempo di accelerazione e decelerazione della navetta, Alan viaggia ad una velocità prossima a quella della luce, ad esempio circa l’80% (0,8 c), cioè 240.000 km/s.

Secondo la teoria della relatività ristretta, sul razzo il tempo scorre a circa il 60% di quello percepito sulla Terra: in pratica Alan ha distorto il tempo facendolo scorrere più lentamente.

 

Questione di punti di vista

Bob, dalla Terra, ha seguito il viaggio del fratello, che è durato circa 10 anni all’andata e 10 al ritorno: quando Alan torna a casa, il calendario in cucina segna l’anno 3020. Sull’astronave, però, il tempo è scorso al 60% rispetto a quello terrestre, così come la distanza si è accorciata da 8 anni luce a 4,8 permettendogli di completare l’andata in 6 anni ed il ritorno in altri 6: giunto sul pianeta natio, l’orologio del razzo segna l’anno 3012. Questo significa che quando i due gemelli si riabbracciano, Alan ha 42 anni (30+6+6) mentre Bob ne ha ben 50 (30+10+10): in pratica sulla Terra sono passati otto anni in più che sulla navetta spaziale.

Se invece si immagina l’esperienza dei gemelli vista da Alan, sarebbe dovuto essere l’orologio della Terra a muoversi al 60% del normale. Se così fosse, però, quando i fratelli si rincontrano a casa dovrebbero essere trascorsi 7,2 anni (ovvero il 60% di 12 anni) ed il calendario terrestre dovrebbe segnare il 3007, mentre Alan, ora 42 anni, a bordo del mezzo spaziale dovrebbe essere di 5 anni più grande di Bob, 37.

Il paradosso sta nel fatto che è impossibile che ogni gemello sia allo stesso tempo più giovane e più anziano dell’altro: ammettere che un sistema di riferimento sia corretto implica che l’altro non lo sia, e ciò è ovviamente impossibile.

 

Soluzione per la relatività speciale

Il paradosso si risolve semplicemente osservando che l’enunciato presenta tre sistemi di riferimento inerziali diversi: il primo sulla Terra, il secondo il viaggio dell’astronave verso Wolf 359 ed il terzo il viaggio di ritorno a casa. Sempre tralasciando accelerazione e decelerazione, ogni evento importante cambia in base al sistema di riferimento.

Nella relatività speciale basta pensare che ogni singolo sistema può considerare sé stesso immobile: in questo modo, sia Bob che Alan vedrebbero l’orologio dell’altro scorrere al 60% del normale; in questo modo Alan calcola che quando raggiunge Wolf 359 siano passati 6 anni a bordo, e circa 4 sulla Terra. Il calcolo che Alan fa però è sbagliato, poiché non tiene conto del tragitto compiuto dalla luce dal pianeta natale alla stella.

Giunto a Wolf 359, la luce che lo colpisce è quella partita dalla Terra 2 anni dopo di lui (o poco più di 1 anno secondo la data di bordo). Pertanto Alan vede l’orologio della Terra andare non al 60% del suo, bensì 3 volte più lento: il 33,3%. Tornando a casa, Alan va incontro alla luce proveniente dalla Terra, anziché allontanarsene come nel viaggio di andata: l’orologio a bordo andrà non più tre volte più lento, ma tre volte più veloce: in pratica il tempo distorto all’andata è stato livellato al ritorno. Ciò è valido sia per Alan che per Bob, ovviamente all’inverso. Il viaggio, in definitiva, dura 20 anni, è l’età dei gemelli è identica: 50 anni.

 

Soluzione per la relatività generale

Se calcoliamo il tempo necessario alle accelerazioni ed alle decelerazioni il tempo guadagnato o perso da Alan o Bob è livellato dalla differenza di velocità in queste due fasi.

Secondo il redshift gravitazionale della relatività generale durante l’accelerazione Alan a bordo vede l’orologio sulla Terra andare molto più veloce del suo, poiché la navetta si avvicina ad una velocità prossima a quella della luce. Ovviamente è vero anche il contrario: il tempo recuperato da un lato viene perso dall’altro, facendo sì, come nella soluzione precedente, che il viaggio di 20 anni sia stato identico per entrambi i gemelli, entrambi cinquantenni al momento in cui si riabbracciano.

 

Esperimenti

Il paradosso è stato scientificamente verificato in almeno due occasioni.

Nella prima sono stati fatti volare due aerei in direzione opposta, uno verso est e l’altro verso ovest. Attraverso orologi atomici a bordo dei velivoli si è verificato che quello ad ovest guadagna sull’altro alcuni decimi di secondo, poiché quello che viaggia verso est somma la sua velocità a quella di rotazione del pianeta.

In un altro esperimento il CERN di Ginevra nel 1966 ha utilizzato un acceleratore di particelle per mettere in moto dei muoni. Arrivati ad una velocità pari al 99,6% quella della luce, si è scoperto che i muoni erano decaduti più lentamente di quelli in quiete nel laboratorio, rendendoli di fatto meno anziani.

Piero Angela illustra invece un curioso aneddoto: supponiamo che un ragazzo di 19 anni sia partito su un razzo che viaggia quasi alla velocità della luce lasciando a casa la moglie ad accudire il figlio appena nato. In viaggio per 30 anni, tornerebbe sulla Terra all’età di 49 anni, mentre il piccolo dovrebbe avere oltre 50 anni, rendendo di fatto, paradossalmente, il padre più giovane del figlio.

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D&R: Qual è il numero più grande mai concepito da mente umana?

È il numero di Graham, così chiamato in onore di Ronald Graham, ed è considerato il primo numero di dimensioni inconcepibili ad essere usato in una seria dimostrazione matematica, il Problema di Graham, del quale rappresenta il limite superiore. Tale numero è estremamente più grande di altri famosi numeri grandi come il googol, il googolplex e persino il Megistone: in effetti è talmente grande che non è possibile dare un’idea delle sue dimensioni in termini non matematici senza sottostimarlo grandemente. Il Numero di Graham è stato riportato nel Guinness dei Primati del 1980.


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